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數學歷史上的三次危機

2013-06-03 10:23 | 來源:網絡資源 | 作者:楊銀舟 | 本文已影響

 

經濟上有危機,歷史上數學也有三次危機。第一次危機發生在公元前580~568年之間的古希臘,數學家畢達哥拉斯建立了畢達哥拉斯學派。這個學派集宗教、科學和哲學于一體,該學派人數固定,知識保密,所有發明創造都歸于學派領袖。當時人們對有理數的認識還很有限,對于無理數的概念更是一無所知,畢達哥拉斯學派所說的數,原來是指整數,他們不把分數看成一種數,而僅看作兩個整數之比,他們錯誤地認為,宇宙間的一切現象都歸結為整數或整數之比。該學派的成員希伯索斯根據勾股定理(西方稱為畢達哥拉斯定理)通過邏輯推理發現,邊長為l的正方形的對角線長度既不是整數,也不是整數的比所能表示。希伯索斯的發現被認為是“荒謬”和違反常識的事。它不僅嚴重地違背了畢達哥拉斯學派的信條,也沖擊了當時希臘人的傳統見解。使當時希臘數學家們深感不安,相傳希伯索斯因這一發現被投入海中淹死,這就是第一次數學危機。這場危機通過在幾何學中引進不可通約量概念而得到解決。兩個幾何線段,如果存在一個第三線段能同時量盡它們,就稱這兩個線段是可通約的,否則稱為不可通約的。正方形的一邊與對角線,就不存在能同時量盡它們的第三線段,因此它們是不可通約的。很顯然,只要承認不可通約量的存在使幾何量不再受整數的限制,所謂的數學危機也就不復存在了。不可通約量的研究開始于公元前4世紀的歐多克斯,其成果被歐幾里得所吸收,部分被收人他的《幾何原本》中。第二次數學危機發生在十七世紀。十七世紀微積分誕生后,由于推敲微積分的理論基礎問題,數學界出現混亂局面,即第二次數學危機。微積分的形成給數學界帶來革命性變化,在各個科學領域得到廣泛應用,但微積分在理論上存在矛盾的地方。無窮小量是微積分的基礎概念之一。微積分的主要創始人牛頓在一些典型的推導過程中,第一步用了無窮小量作分母進行除法,當然無窮小量不能為零;第二步牛頓又把無窮小量看作零,去掉那些包含它的項,從而得到所要的公式,在力學和幾何學的應用證明了這些公式是正確的,但它的數學推導過程卻在邏輯上自相矛盾。焦點是:無窮小量是零還是非零?如果是零,怎么能用它做除數?如果不是零,又怎么能把包含著無窮小量的那些項去掉呢?直到19世紀,柯西詳細而有系統地發展了極限理論。柯西認為把無窮小量作為確定的量,即使是零,都說不過去,它會與極限的定義發生矛盾。無窮小量應該是要怎樣小就怎樣小的量,因此本質上它是變量,而且是以零為極限的量,至此柯西澄清了前人的無窮小的概念,而且把無窮小量從形而上學的束縛中解放出來,第二次數學危機基本解決。
  第二次數學危機的解決使微積分更完善。
  第三次數學危機,發生在十九世紀末。當時英國數學家羅素把集合分成兩種。
  第一種集合:集合本身不是它的元素,即A A;第二種集合:集合本身是它的一個元素A∈A,例如一切集合所組成的集合。那么對于任何一個集合B,不是第一種集合就是第二種集合。
  假設第一種集合的全體構成一個集合M,那么M屬于第一種集合還是屬于第二種集合。
  如果M屬于第一種集合,那么M應該是M的一個元素,即M∈M,但是滿足M∈M關系的集合應屬于第二種集合,出現矛盾。
  如果M屬于第二種集合,那么M應該是滿足M∈M的關系,這樣M又是屬于第一種集合矛盾。
  以上推理過程所形成的俘論叫羅素悖論。由于嚴格的極限理論的建立,數學上的第一次第二次危機已經解決,但極限理論是以實數理論為基礎的,而實數理論又是以集合論為基礎的,現在集合論又出現了羅素悖論,因而形成了數學史上更大的危機。從此,數學家們就開始為這場危機尋找解決的辦法,其中之一是把集合論建立在一組公理之上,以回避悖論。首先進行這個工作的是德國數學家策梅羅,他提出七條公理,建立了一種不會產生悖論的集合論,又經過德國的另一位數學家弗芝克爾的改進,形成了一個無矛盾的集合論公理系統。即所謂ZF公理系統。這場數學危機到此緩和下來。數學危機給數學發展帶來了新的動力。在這場危機中集合論得到較快的發展,數學基礎的進步更快,數理邏輯也更加成熟。然而,矛盾和人們意想不到的事仍然不斷出現,而且今后仍然會這樣。 

參考資料

  丁爾升主編《中學百科全書·數學卷》有關條目,北京師大出版社等1994年。
   
  選自《中學生數學》2001年2月上

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